Bernoullische Ungleichung

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl ${\displaystyle x\geq -1}$^[1] und jede ganze Zahl ${\displaystyle n\geq 0}$ gilt

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$.^[2]

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli.^[3]

1. ↑ In der Tat gilt die Ungleichung sogar für ${\displaystyle x\geq -2}$ und ungerade ${\displaystyle n\geq 3}$, allerdings lässt sich dies nicht mehr so direkt mit vollständiger Induktion, sondern z. B. durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass ${\displaystyle f(x):=(1+x)^{n}-(1+nx)}$ für ${\displaystyle -2<x<-1}$ negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für ${\displaystyle x=-2}$ und ${\displaystyle x=-1}$ positiv ist. In diesem Fall hat ${\displaystyle f}$ ein lokales Maximum in ${\displaystyle x=-2}$. Für gerades ${\displaystyle n\geq 2}$ gilt die Ungleichung sogar für alle reellen ${\displaystyle x}$, da hier für ${\displaystyle x<-1}$ die linke Seite der Ungleichung stets positiv bleibt, während die rechte sicher negativ ist.
2. ↑ Für den Fall ${\displaystyle x=-1}$ und ${\displaystyle n=0}$ muss ${\displaystyle 0^{0}=1}$ vereinbart werden.
3. ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1. B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17